Raja Fisika : Matematika

Friday, 21 October 2011

Grafik Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax² + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp ) dengan :

Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y = ax² + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x₁ dan x₂ . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya....

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya... bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x₁ dan x₂ maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y = ax² + bx + c

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x₁ , 0 )dan ( x₂ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x₁ ).( x - x₂ )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x₁ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x₁ )²
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

4. Parabola melalui titik puncak ( x_p , y_p ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x_p )² + y_p
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus

Monday, 17 October 2011

Soal dan Pembahasan Integral Subtitusi

Bentuk pengintegralan dengan metode subtitusi merupakan versi pengintegralan/kebalikan dari aturan rantai pada differnsial/turunan.

Masih ingatkah turunan berantai!! Perhatikan contoh di bawah ini :

y = ( x² + 3x + 5 )⁹ maka turunanya !

Jawab :

y' = 9 ( x² + 3x + 5 )⁸ ( 2x + 3)

keterangan :
pangkatnya diturukan sehingga dikali 9 dan pangkatnya berubah dari pangkat 9 menjadi 8, ingat yang bagian dalam kurung tetap... kemudian dikalikan dengan turunan yang di dalam kurung... turunan x² + 3x + 5 adalah 2x + 3.

Hal ini berarti :

Lalu..Caranya...??

Misal : u = x² + 3x + 5 maka :

du/dx dibaca turunan fungsi u yang diturunkan variabel x nya....

maka :

contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :

1. $\int (5x-3)^4dx=....$

Jawab :

* kita misalkan u=5x-3

dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

$\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 5x-3}\\\frac{du}{dx}&=&5\\dx&=&{\color{Blue} \frac 15\;du} \end{align*}$

* Baru kita subtitusikan ke soal :

$\begin{align*}\int({\color{Red} 5x-3})^4{\color{Blue} dx}&=&\int {\color{Red} u}^4.{\color{Blue} \frac 15\;du}\\&=&{\color{Blue} \frac 15}.\frac{1}{4+1}.{\color{Red} u}^{4+1}+C\\&=&\frac{1}{25}\;{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac{1}{25}\;({\color{Red} 5x-3})^5+C\end{align*}$

Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita $u={\color{Red} 5x-3}$ ya…..

2. $\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx=...$

Jawab :

* kita misalkan u=3x^2-3x+5

dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :

$\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 3x^2-3x+5}\\\frac {du}{dx}&=&6x-3\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\end{align*}$

* Baru kita subtitusikan ke soal :

$\begin{align*}\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx&=&\int (2x-1).{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\\&=&\int \frac{2x-1}{{\color{Blue} 3(2x-1)}}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{3}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 13.\frac{1}{8+1}.{\color{Red} u}^{8+1}+C\\&=&\frac{1}{27}.{\color{Red} u}^9 +C\\&=&\frac{1}{27}({\color{Red} 3x^2-3x+5})^9+C\end{align*}$

3. $\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx=...$

Jawab :

* kita misalkan u=2x^3+1

dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

$\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 2x^3+1}\\\frac{du}{dx}&=&6x^2\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du} \end{align*}$

* Baru kita subtitusikan ke soal :

$\begin{align*}\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx&=&\int x^2.\sqrt{{\color{Red} u}}\;.{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du}\\&=&\int \frac{x^2}{{\color{Blue} 6x^2}}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{6}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 16.\frac{1}{\frac 12+1}\;{\color{Red} u}^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac 16.\frac 23\;{\color{Red} u}^{\frac 32}+C\\&=&\frac 19\;{\color{Red} u}\sqrt {\color{Red} u}+C\\&=&\frac 19({\color{Red} 2x^3+1})\sqrt{{\color{Red} 2x^3+1}}+C\end{align*}$

4. $\int sin\;x.cos^2x\;dx$ = …

Jawab :

* kita misalkan $u=cos\;x$ maka :

$\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} cos\;x}\\\frac{du}{dx}&=&-sin\;x\\du&=&-sin\;x\;dx \end{align*}$

*sehingga :

$\begin{align*}\int sin\;x.{\color{Red} cos}^2{\color{Red} x}\;dx&=&\int -{\color{Red} u}^2\;du\\&=&-\frac 13.{\color{Red} u}^3+C\\&=&-\frac 13.{\color{Red} cos}^3{\color{Red} x}+C\end{align*}$

5. $\int cos\;5x\;sin^4\;5x\;dx=$ …

Jawab :

* kita misalkan $u=sin\;5x$ maka :

$\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} sin\;5x}\\\frac{du}{dx}&=&5.cos\;5x\\\frac{du}{5}&=&cos\;5x\;dx\end{align*}$

*sehingga :

$\begin{align*}\int cos\;5x\;{\color{Red} sin}^4\;{\color{Red} 5x}\;dx&=&\int \frac 15.{\color{Red} u}^4\;du\\&=&\frac 15.\frac 15.{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac {1}{25}{\color{Red} sin}^5\;{\color{Red} 5x}+C\end{align*}$

(sumber soal : http://www.meetmath.com/161235-materi-integral-subtitusi.html/comment-page-1#comment-423 )

dari dua soal terakhir di atas ada cara praktisnya :