Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

Agus dan adiknya baru pulang dari toko alat tulis....

Agus membeli 5 buku tulis 3 pensil dan uangnya sisa Rp. 2000,-
sedangkan adiknya membeli 4 buku tulis dan satu pensil dan uang sisanya Rp. 3000,-

Saat sampai di rumah ibunya tanya.... Jadinya beli buku dan pensil berapa....?

lalu agus menjawab :  semuanya jadinya 13 buku pensil bu... eh salah ternyata 5013.... (dengan PD)

Ibu : ???

dari percakapan ( yang agak dipaksakan ) di atas tentunya secepat kilat kalian tahu kenapa ibu menjadi bingung mendengar jawaban dari agus....

padahal  jika diantara kalian diberi pertanyaan seperti itu ada juga lho yang jawabannya seperti agus...

Hmm,, mau bukti....?

Coba jawab ini :    2x - 3y - 5x² +7x - 2y + 8

udah belom.... dikerjakan dulu baru dilanjutin bacanya


pertanyaan yang ditanyakan ibu ke agus dengan pertanyaan di atas sama2 merupakan bentuk aljabar, yang pertama sering kita alam di kehidupan sehari-hari sedangkan yang kedua biasanya ditanyakan dalam buku matematika SMP.....

yuph.... agus salah menjawab karena dia mencampuradukkan jumlah pensil dan buku menjadi satu.... jadi walaupun yang ditanyakan jumlah total kita harus memperhatikan jenis barangnya,

jawaban yang tepat harusnya :
9 buku tulis dan 4 pensil serta uang kembalian Rp. 5000,-

ya... yang sejenis aja yang dijumlahkan,

Jadi pertanyaan yang kedua jawabannya :  9x - 5y - 5x² + 8

hanya yang huruf belakangnya sama yang digabung dan setelah digabung hurufnya tidak digabung lho.... cukup ditulis sekali saja.... jadi 2x digabung dengan 7x menjadi 9x, bukan 9xx atau 9x²


yang hurufnya beda juga tidak boleh digabung lho.... klo x dan y jelas beda, x dan x² juga beda juga... jadi jangan digabung...

ngomong-omong jawabanmu benar ato salah?? Hm....

sekarang kita ulas dahulu mengenai istilah2 yang perlu diketahui dalam aljabar.....

Huruf dalam aljabar disebut variabel misalnya : x, y, xy, p², mn² dan lain sebagainya sedangkan angka yang yang dimiliki variabel disebut juga angka koefisien...., tapi ada juga lho angka yang tidak ada variabelnya... namanya konstanta... Ingat bila ada tanda negatif (-) diikutkan angka belakangnya lho... misal pada persamaan di atas anka koefisien dari xy adalah -12 dan konstanta persamaannya = -7

Variabel dengan angka koefisiennya atau konstanta membentuk satu suku....

jadi suku dalam persamaan di atas ada 5 suku....  ingat tanda negatif ikut suku belakangnya (sebelah kanannya).....

suku sejenis adalah suku yang variabelnya sama, dan yang dapat dijumlah atau dikurangkan hanya suku-suku sejenis saja.....

misal :

 5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h = ....

untuk kemudahan pengerjaan suku-suku sejenis dapat didekatkan....

 5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h  =   5k - 8k + 4j -2h - 7h +6  = -3k +4j -9h+6 

mudahkan.... 

Selanjutnya....

bila ada tanda kurung maka angka yang ada di dalamnya harus dikeluarkan terlebih dahulu....

( 2x + 3) + ( x - 1) = 2x + 3 + x - 1 = 3x + 2

jadi.... x = 1x biasanya angka 1 tidak perlu ditulis.... 2x + x = 3x

untuk soal di atas jika mau dikerjakan langsung tanpa mengeluarkan angka dalam kurung sebenarnya bisa....

tapi lain cerita bila ada tanda kurang (-) di luar kurung.....

 ( 2x + 3) - ( x - 1)  = 2x + 3 - x + 1 

tanda negatif tidak hanya mengubah x di belakangnya menjadi -x namun juga mengubah semua yang ada didalam kurung menjadi berlawanantanda.... -1 menjadi 1 bila tanda kurungnya dihilangkan.

Jika ada angka di depan tanda kurung tanpa tanda + / - yang menghubungkan berarti itu merupakan perkalian ( bahas perkalian dikitt....)

misal :  -3 ( 2x + 3) artinya setiap angka di dalam kurung dikalikan -3 sehingga menjadi : 
-6x - 9

asalnya dari (-3)2x + (-3).3 = -6x -9

coba kerjakan soal di bawah ini :

2( 2x + 3) -3( x - 1) =.......

perkalian angka di luar tanda kurung dengan angka dalam kurung dikerjakan dahulu :

pamah warna merah menunjukkan angka yang perlu dikalikan..... jadinya :

4x + 6 - 3x + 1 = x + 7

sekali lagi mengingatkan tanda negatif ikut angka belakangnya.... jadi ( x - 1 ) dikalikan -3 bukan 3.

Segmen terakhir yang akan saya bahas mengenai kefahaman bahasa....

kadang2 kita sudah bisa mengerjakan soal aljabar jika sudah berwujud persamaan... jika masih ada unsur kata2 kadang menjadi bingung....

Contoh :

Tuliskan hasil pengurangan -2a + b - 3c dari 4a + 3b - 5c =........

Salah jika penulisanmu begini :  ( -2a + b - 3c )  -  ( 4a + 3b - 5c )

Pengurangan artinya angka yang mengurangi dan dari artinya angka yang dikurangi sehingga menjadi :

( 4a + 3b - 5c ) - ( -2a + b - 3c ) =......

4a + 3b - 5c + 2a - b + 3c = 6a + 2b - 2c

ada yang ditanyakan ?? tulis aja di komentar di bawah artikel ini.... khusus penjumlahan dan pengurangan aljabar lho.... klo perkalian, pembagian dan pemfaktoran di bahas lain di artikel lain aja ( blum saya buat)

Okee... Selamat belajar. 

Tips Panjang Sisi pada Bidang Sebangun II

Artikel ini membahas tentang materi kelas 3 SMP tentang "Kesebangunan" dan juga merumakan kelanjutan dari artikel saya sebelumnya yang berjudul Tips Panjang Sisi pada Bidang Sebangun.

materi yang tersaji dalam artikel ini maupun artikel sebelumnya sebagian berisi tips-tips praktis dalam mengerjakan soal. Penggunaan tips praktis tersebut sama sekali tidak bertujuan untuk membuat siswa bodoh karena tidak memahami inti materi yang disampaikan. Tujuan penggunaan tips praktis dalam penyelesaian soal-soal tentang kesebangunan ini bertujuan agar siswa dapat mengerjakan soal-soal kesebangunan yang sering muncul dalam ujian semester maupun UAN dengan cepat. Sehingga harapannya akan menambah kepercayaan diri siswa tersebut dalam mengerjakan soal-soal yang lainnya karena dia sudah menjawab salah satu soal dengan cepat dan tepat. Selain itu waktu yang dimiliki siswa dalam mengerjakan soal ujian menjadi lebih efisien karena sebagian soal telah dikerjakan dengan cepat menggunakan tips-tips praktis tersebut.

Rumus Air Mancur dalam Segitiga Sebangun

Coba kalian perhantikan bagan rumus berikut ini :

Coba kalian perhatikan...... garis2 yang warnanya sama dikalikan dan  yang garisnya dobel berarti dikuadratkan. Perkalian garis2 yang sewarna tersebut sama hasilnya dengan warna yang lainnya. arah panah garis yang berwarna oranye selalu menuju ke sisi miring segitiga siku2. 

untuk rumus2 yang saya sajikan dengan gambar seperti rumus di atas tidak penting untuk mengingat nama2 huruf yang tertera pada titik2 sudutnya (misal AB, AD, BC dll) karena lain soal nama2 titik sudutnya pun bisa berbeda. Namun bagan2 garis yang digunakan untuk mengingat rumus tidak akan berubah.

Coba perhatikan contoh soal berikut ini.... dan carilah nilai x, y dan z :

 AD² = DC . DB

12² = 16.X

12² : 16 = X

X = 144 : 16 = 9

Jadi nilai x = 9 cm

 contoh lainnya......

untuk soal yang ini saya kerjakan langsung :

y² = 16 . (16 + 9)

y² = 400 maka y = 20 cm

z² = 9 . (9 + 16)

z² = 225 maka z = 15 cm


Rumus Segitiga Sebangun Lainnya......

untuk soal seperti di bawah ini tidak bisa dikerjakan dengan rumus praktis di atas...... nah unutk soal2 seperti inilah kalian harus memahami konsep dasar tentang perbandingan dalam kesebangunan :

coba carilah panjang DE .......? 

ingat untuk soal ini tidak dapat dikerjakan dengan rumus air mancur di atas...juga tidak bisa dikerjakan dengan perbandingan sisi segitiga sebangun yang disampaikan pada artikel sebelumnya.

tapi jangan khawatir..... pada prinsipnya asal kedua bangun merupakan segitiga sebangun maka dapat dibuat perbandingan sisi2 yang bersesuaian. Untuk kemudahan dalam mengerjakan  soal pisahkanlah antara gambar segitiga besar dengan segitiga kecil

segitiga besar dan kecil mempunyai titik sudut yang sama yaitu titik C. maka besar sudutnya pun juga sama. segitiga yang besar siku2 di titik A sedangkan segitiga kecil siku2 di titik E, maka setelah dipisahkan terlihat seperti gambar di bawah ini :

Samapi di sini dulu ya.... OK bro.... : )

Materi UAN SMP : Perbandingan dan Aritmatika Sosial

A. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

1. Perbandingan Senilai

Contoh :

jika 2 bangku panjang dapat diisi 6 orang, maka perlu berapa bangku panjang untuk 264 orang?

Solusi: 

jika kalian mendapat soal seperti diatas susunlah menjadi perbandingan

jumlah kursi 1 : jumlah kursi 2 = jumlah orang 1 : jumlah orang 2 atau

jumlah kursi 1 : jumlah orang 1 = jumlah kursi 2 : jumlah orang 2

kemudian kalian kalikan silang (kanan atas x kiri bawah = kiri atas x kanan bawah) sehingga diperoleh

2 x 264 = n x 6

528 = 6n maka n = 528 / 6 = 88

2. Perbandingan Berbalik Nilai 

Contoh :

Jika 20 orang dapat menyelesaikan pembangunan rumah dalam waktu 60 hari. Setelah 12 hari bekerja,

pekerjaan terhenti selama 8 hari. Berapakah tambahan pekerja yang diperlukan agar pekerjaan tepat

waktu?

Solusi:

Dari soal diatas dibuat tabel perbandingan setelah 12 hari pekerjaan:

48 diperoleh dari 60 - 12 karena pekerjaan telah berjalan 12 hari sedangkan

40 diperoleh dari 48 - 8 karena kenyataannya pekerjaan terhenti 8 hari setelah 12 hari berjalan

kemudian kita susun menjadi perbandingan terbalik (Perhatikan beda dengan contoh nomor 1!)

jumlah pekerja 1 : jumlah pekerja 2 = sisa hari 2 : sisa hari 1 atau

jumlah pekerja 1 : sisa hari 2 = jumlah pekerja 2 : sisa hari 2

mengapa susunannya berbeda? karena ini merupakan perbandingan terbalik sedangkan no.1 adalah soal

prebandingan lurus.

Apa ciri perbandingan lurus? perbandingan lurus cirinya jika jumlahnya ditambah menyebabkan jumlah yang dipengaruhi juga bertambah. contohnya jika jumlah kursi ditambah maka jumlah orang yang duduk juga bertambah

Apa ciri perbandingan terbalik? perbandingan terbalik cirinya jika jumlahnya ditambah maka jumlah yang

dipengaruhinya berkurang. contohnya jika jumlah pekreja ditambah maka sisa hari/lama pekerjaannya berkurang.

kembali ke penyelesaian soal nomor 2

setelah disusun seperti perbandingan di atas kemudian dikali silang sehingga diperoleh

20 x 48 = n x 40

960 = 40 n maka n = 960 / 40 = 24

Sehingga tambahan orang yang diperlukan = 24 – 20 = 4 pekerja

B. Aritmatika Sosial

Perbandingan harga beli (modal), harga jual dan untung/ rugi

Contoh prosentase Uang

Harga beli 100% 200.000

Untung 10 % 20.000

Harga jual (untung) (100 + 10) % = 110 % 220.000

Rugi 20 % 40.000

Harga jual (rugi) (100 – 20) % = 80 % 160.000

Contoh:

Pak Ujang membeli motor dengan harga Rp. 10.500.000,00. setelah 6 bulan dijual lagi dengan kerugian 15%.

Berapakah harga jualnya?

sebelum menyelesaikan soal di atas kita bahas dahulu ciri masing2 unsur :

>>> harga beli selalu 100%

>>> untung / rugi menyesuaikan dengan yang diketahui

>>> harga jual jika untung maka lebih dari 100% dan jika rugi kurang dari 100 %

kemudian kita susun menjadi perbandingan persen (%) :

% yang ditanyakan banding % yang diketahui jumlah uangnya kemudian dikali dengan jumlah uang yang

diketahui tersebut

berdasarkan soal diatas :

>>> % yang ditanykan adalah % harga jual yakni 85% (diperoleh dari 100% - 15%, dikurangi karena rugi)

>>> % yang diketahui uangnya adalah % harga beli yakni 100% sebesar Rp. 10.500.000,00

kemudian disusun menjadi :

%yang ditanyakan x jumlah uang

% yang diketahui

85 % x Rp. 10.500.000,00 = Rp. 8.925.000,00

100 %

Tips Panjang Sisi pada Bidang Sebangun

Dalam pelajaran matematika SMP kelas 3 semester pertama ada materi mengenai "Kesebangunan". kali ini saya akan membahas penyelesaian soal kesebangunan yang beberapa bentuk bidang.Yang pertama berbentuk trapesium

Sebagai contoh :

Diketahui dua buah trapesium sebangun seperti gambar di bawah ini.........

Panjang EF dapat dicari dengan rumus  :

mudah kan......

Sekarang contoh bangun yang berbentuk persegi panjang  :

 Suatu Poster berukuran 20 cm x 36 cm diletakkan pada suatu bingkai karton sebangun, pada sisi sebelah atas tersisa 5 cm demikian juga bagian kanan dan kiri bingkai juga tersisa 5 cm seperti dalam gambar di bawah ini, berapakah sisa bingkai pada bagian bawah? dan berapa luasnya?

Penyelesaian :

Kemudian luas sisa bingkai karton bagian bawah = sisa panjang karton x lebar bingkai

                     = 13 cm x (5 + 20 + 5) cm = 13 cm x 30 cm = 390 cm2

dalam segitiga sebangun berlaku hubungan :

Tips Persamaan Garis Linear

Persamaan linear yang diketahui dua titik sembarang dapat diselesaikan dengan metode pita. sebagai contoh :

Diketahui suatu garis melalui titik (1,4) dan (2,9), carilah persamaan garis tersebut ?

langkah pertama susunlah kedua titik yang diketahui seperti bagan di bawah ini :

kurangkanlah bagian atas dengan bagian bawah, yang bagian depan dikalikan dengan -y dan yang belakang dikalikan x. hasilnya sama dengan  perhitungan  selisih antara perkalian dua angka saat pita naik dengan perkalian dua angka saat pita turun.........

seperti gambar di bawah ini  :

 keterangan :    - (-1) y berasal dari (1 - 2) kemudian dikalikan dengan -y

                              (-5) x berasal dari (4 - 9) kemudian dikalikan dengan x

dari perhitungan di atas dapat disederhanakan menjadi  :

y - 5x = -1

sekarang coba titik ini :

(-3, 4) dan (5, -2)       disusun menjadi  (-3, 4)

                                                                      ( 5,-2)

dalam pikiranmu  -3 - 5 = -8 kemudian -8 . -y = 8y           angka yang kamu tulis  8y

dalam pikiranmu   4 - (-2) = 6 kemudian 6 . x = 6x           angka yang kamu tulis 6x

dalam pikiranmu mengalikan dari anga pojok kiri bawah (5) dengan pojok kanan atas (4) hasilnya dikurangi dengan hasil perkalian pojok kiri atas (-3) dengan pojok kanan bawah (-2). sehingga diperoleh 20 - 6 = 14

persamaan yang kamu tulis menjadi  :  6x + 8y = 14

Tips Sistem Persamaan Liniar Dua Variabel

Metode ini berdasarkan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode MATRIKS yang ditampilkan dalam bentuk yang aplikatif untuk menyelesaikan soal secara cepat.

Sebagai contoh diketahui persamaan linear : 

  x +  2 y  =  8  dan  x  -  y  =  2

1. Mencari pembilang x

Tutuplah dengan jari tangan atau penggantinya pada bagian x (yang dilingkari). Terus kalikanlah pasangan angka yang ditunjukkan tanda panah, mula-mula atas-bawah lalu bawah-atas. Kemudian selisihkan pasangan atas-bawah dengan bawah-atas.

pembilang x =  ( 8 . (-1) )  - ( 2 . 2 ) =  -8 - 2  =  -12

2. Mencari pembilang y

Tutuplah dengan jari tangan atau penggantinya pada bagian y (yang dilingkari). Terus kalikanlah pasangan angka yang ditunjukkan tanda panah, mula-mula atas-bawah lalu bawah-atas. Kemudian selisihkan pasangan atas-bawah dengan bawah-atas.

 pembilang y =  ( 1 . 2 )  -  ( 1 . 8 )  =  2 - 8 =  -6

3. Mencari penyebut untuk x dan y

Tutuplah dengan tangan atau penggantinya pada bagian konstanta (hasil). Terus kalikanlah pasangan angka yang ditunjukkan tanda panah, mula-mula atas-bawah lalu bawah-atas. Kemudian selisihkan pasangan atas-bawah dengan bawah-atas.

penyebut keduanya sama yaitu =  ( 1 . (-1) ) - ( 1 . 2 )  =  -1 - 2  =  -3

4. Hasil akhir (pembilang per penyebut)

    x = -12 / (-3) = 4

    y = -6 / (-3) = 2   

 Sepintas metode ini nampak panjang, namun sebenarnya yang kalian tampilkan dalam kertas hitungan hanya pada langkah ke 4 saja. angka-angka yang diperoleh dalam langkah ke 4 adalah angka hasil perkalian dan hasilnya diselisihkan dalam langkah 1 sampai 3 yang kalian kerjakan secara "awangan" (dalam pikiran).He...he...

trus, Metode ini mempunyai beberapa keunggulan :

• mengalikan dan menyelisihkan hasilnya secara "awangan" membuat kalian semakin lancar dalam soal hitungan


• perkalian yang melibatkan garis-garis panah membuat otak kanan kita ikut aktif dalam perhitungan sehingga kita menjadi lebih kreatif.